如何使用Python和NumPy求解圓上一點到直線的最短距離？

python和numpy求解圓上一點到直線最小距離

本文探討如何利用Python和NumPy庫計算三維空間中圓上一點到直線的最小距離，并給出該點的坐標。 我們將處理圓與直線不共面的情況。

問題描述

已知圓心 o = (0.3501, -0.0881, -4.8466)，圓的法向量 n = (0.4163, -0.8326, -0.3653)，圓的半徑 r = 1.34954，以及直線上的兩點 a = (3.1932, -0.9005, 0.8082) 和 b = (1.9885, -0.9691, -0.8353)。 目標是找到圓上一點 p，使其到直線 ab 的距離最小，并計算 p 的坐標。

算法原理

由于圓與直線可能不共面，最小距離并非圓心到直線的垂線距離。我們需要：

1. 計算直線的方向向量: 通過 b – a 得到。
2. 計算直線的方向向量: 將其標準化，得到單位方向向量。
3. 計算圓心到直線的距離向量: 找到圓心到直線上一點的向量，并投影到直線的方向向量上，從而得到圓心到直線的距離。
4. 計算圓心到直線垂足的向量: 利用步驟3的結果，計算圓心到直線垂足的向量。
5. 計算圓心到直線垂足的向量在垂直于直線的平面上的投影: 這個投影向量指向圓上距離直線最近的點。
6. 計算圓上最近點: 將投影向量標準化，乘以圓的半徑，然后加到直線垂足上，得到圓上最近點的坐標。

Python代碼實現

import numpy as np  # 輸入數據 o = np.array([0.3501, -0.0881, -4.8466]) n = np.array([0.4163, -0.8326, -0.3653]) r = 1.34954 a = np.array([3.1932, -0.9005, 0.8082]) b = np.array([1.9885, -0.9691, -0.8353])  # 計算直線方向向量 v = b - a v = v / np.linalg.norm(v)  # 標準化  # 計算圓心到直線一點的向量 oa = o - a  # 計算圓心到直線的距離 d = np.dot(oa, v)  # 計算直線垂足 f = a + d * v  # 計算圓心到垂足的向量 of = o - f  # 計算投影到垂直于直線的平面上的向量 proj = of - np.dot(of, v) * v  # 計算圓上最近點 p = f + r * proj / np.linalg.norm(proj)  print("圓上距離直線最近的點的坐標為:", p)

代碼解釋

代碼清晰地實現了上述算法步驟。 numpy 庫提供了高效的向量運算，簡化了計算過程。 最終輸出結果為圓上一點 p 的坐標，該點到直線 ab 的距離最小。

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這個改進后的版本更加簡潔高效，并對算法步驟進行了更清晰的解釋。