極坐標下二重積分計算難題：心形區域積分? y dσ 如何利用對稱性簡化求解？

本文分析一個極坐標下二重積分的計算問題，積分區域為心形區域，被積函數為y。 我們將探討如何利用積分區域的對稱性簡化計算過程。

題目要求計算?_σ y dσ，其中積分區域σ是一個關于y軸對稱的心形區域。 許多同學嘗試使用標準的極坐標積分方法，但結果往往不準確。關鍵在于如何有效利用區域的對稱性。

由于被積函數f(x, y) = y 是關于y軸的奇函數（f(x, -y) = -f(x, y)），這意味著在關于y軸對稱的區域上，積分值大小相等，符號相反。因此，在整個對稱區域σ上，二重積分的結果直接為零：?σ y dσ = 0。 這可以用積分公式嚴格證明：對于關于y=0對稱的區域，?σ f(x,y)dxdy = ∫dx ∫y0-y0 f(x,y)dy，而∫y0-y0 f(x,y)dy = 0，所以整個二重積分結果為0。

一些同學在使用極坐標法時，可能會犯計算錯誤，例如錯誤地計算∫^2π₀ (1/2 + (1/3)sinθ)dθ。 正確的計算需要注意到∫^2π₀ (1/2)dθ = π，而不是1/2，并且需要正確處理三角函數的周期性（例如，cos(2π) = cos(0) = 1）。 糾正這些錯誤，才能得到正確的結果。 因此，利用對稱性直接得出結果0，比繁瑣的極坐標計算更為高效簡潔。