三維空間中兩線段交點(diǎn)坐標(biāo)如何求解？

三維空間線段交點(diǎn)坐標(biāo)求解詳解

求解三維空間中兩條線段的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要分兩步走：首先判斷兩條線段所在的直線是否相交，然后判斷交點(diǎn)是否落在兩條線段上。

步驟一：直線相交性判斷

已知線段AB端點(diǎn)坐標(biāo)A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，線段CD端點(diǎn)坐標(biāo)C(x3, y3, z3)，D(x4, y4, z4)。我們可以用向量法判斷直線AB和CD是否相交。

構(gòu)建向量$vec{AB} = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)$，$vec{AC} = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)$，$vec{AD} = (x4-x1, y4-y1, z4-z1)$。如果$vec{AB}$，$vec{AC}$，$vec{AD}$線性相關(guān)，則直線AB和CD相交。這可以通過計(jì)算這三個(gè)向量的混合積來判斷：混合積為零則三向量共面，直線相交。

更精確的方法是使用參數(shù)方程：

直線AB: $P = A + tvec{AB} = (x1 + t(x2-x1), y1 + t(y2-y1), z1 + t(z2-z1))$ (0 ≤ t ≤ 1) 直線CD: $P = C + svec{CD} = (x3 + s(x4-x3), y3 + s(y4-y3), z3 + s(y4-y3))$ (0 ≤ s ≤ 1)

如果兩直線相交，則存在參數(shù)s和t使得兩直線參數(shù)方程相等。我們可以列出三個(gè)方程組，解出s和t。

步驟二：交點(diǎn)在線段上判斷

解出s和t后，我們需要判斷它們是否都在區(qū)間[0, 1]內(nèi)。如果s和t都位于[0, 1]區(qū)間，則交點(diǎn)位于線段AB和CD上，該交點(diǎn)即為兩線段的交點(diǎn)。否則，兩線段不相交。

總結(jié)

通過以上步驟，求解出s和t，并驗(yàn)證其范圍，即可確定兩線段是否相交以及交點(diǎn)坐標(biāo)。 實(shí)際計(jì)算中，由于浮點(diǎn)數(shù)精度限制，需要設(shè)置容差來判斷近似相等。 需要注意的是，如果兩條線段重合，上述方法可能無法準(zhǔn)確判斷交點(diǎn)。