曲線積分中x2項“消失”了？換元積分法如何巧妙處理？

曲線積分計算中的變量處理技巧

本文針對曲線積分計算中一個常見的疑問進行解析。許多同學在學習曲線積分時，常常對某些步驟中變量的處理感到困惑，例如被積函數(shù)中某些項的“消失”。我們以一個具體的例子來講解這種現(xiàn)象背后的原理。

問題源于一個曲線積分例題的解答過程。在計算 $int x^2 sin(x^3) dx$ 時，標準答案中x2項在積分步驟中似乎消失了，這引發(fā)了部分同學的疑問。他們認為根據(jù)積分公式，x2積分后應該得到 (1/3)x3，而不是直接消失。

其實，答案中并沒有讓x2項憑空消失，而是巧妙地應用了換元積分法。 關鍵在于理解：$x^2 dx$ 不能直接等同于 $frac{1}{3}dx^3$。

正確的解法是：令 u = x3，則 du = 3x2dx，從而 x2dx = (1/3)du。

因此，原積分可以轉化為：

$int x^2 sin(x^3) dx = int frac{1}{3} sin(u) du$

通過這個換元，積分變得容易求解。x2項并非消失，而是被巧妙地融入到換元后的積分式中，成為了微分 du 的一部分。 理解并熟練運用換元積分法是解決此類問題的關鍵。 避免直接對x2進行積分，才能避免錯誤。