極坐標下二重積分?ydσ=0的巧妙證明及常見錯誤分析
本文分析一道關于極坐標下二重積分的題目，并解釋為什么積分結果為零，以及計算過程中常見的錯誤。題目中，積分區域為極坐標方程r = ? + (?)sinθ描述的心形區域，被積函數為f(x,y) = y。
利用對稱性快速求解：
關鍵在于觀察被積函數和積分區域的對稱性。被積函數y是關于y軸的奇函數，即f(x,-y) = -f(x,y)。同時，心形區域關于x軸對稱。這意味著對于區域內任意一點(x,y)，點(x,-y)也在區域內。因此，在x軸上下兩部分區域上的積分值大小相等，符號相反，最終結果相互抵消，二重積分結果為零：
?σ y dσ = 0
更嚴格的數學表達：
?σ f(x,y)dxdy = ∫dx ∫y0-y0 f(x,y)dy = 0 (因為∫y0-y0 f(x,y)dy = 0)
常見錯誤及正確解法：
許多同學嘗試使用極坐標變換直接計算，但容易出現錯誤。正確的極坐標積分步驟如下：
?σ y dσ = ∫02π ∫0?+(?)sinθ (r sinθ) * r dr dθ = ∫02π ∫0?+(?)sinθ r2 sinθ dr dθ
錯誤通常發生在對r的積分之后，對θ的積分計算上。 一些同學會錯誤地計算∫02π (? + (?)sinθ) dθ，忽略了對常數項?的積分，或者錯誤地認為∫02π sinθ dθ不等于零。
正確計算步驟：
- 內層積分 (對r積分):
∫0?+(?)sinθ r2 sinθ dr = [?r3 sinθ]0?+(?)sinθ = ?(? + (?)sinθ)3 sinθ
- 外層積分 (對θ積分):
∫02π ?(? + (?)sinθ)3 sinθ dθ
這個積分雖然看起來復雜，但由于sinθ在[0, 2π]上的積分結果為0，且(? + (?)sinθ)3是一個關于sinθ的奇函數，因此最終結果仍然為0。
總結：利用對稱性可以快速判斷該二重積分的結果為零，避免復雜的計算。 如果必須通過極坐標積分計算，則需仔細計算內外層積分，避免常見的計算錯誤。 記住，對稱性分析是解決積分問題的一個強大工具。
