C++中如何實現動態規劃算法_動態規劃問題解析

動態規劃，說白了，就是把一個復雜問題拆解成一堆更小的、相互關聯的子問題，然后解決這些子問題，最后把它們的答案組合起來，得到原始問題的答案。關鍵在于，子問題之間不是獨立的，它們會互相重疊，動態規劃就是用來避免重復計算這些重疊的子問題。

c++中實現動態規劃，主要就是兩招：記憶化搜索和遞推。

解決方案

具體來說，我們通常會創建一個表格（比如二維數組vector> dp），用來存儲子問題的解。這個表格的維度取決于問題的性質。然后，根據問題的狀態轉移方程，來填充這個表格。

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• 記憶化搜索：本質上是遞歸，但加了一個緩存，避免重復計算。 比如，計算dp[i][j]時，先檢查它是否已經被計算過。如果dp[i][j]已經有值了，直接返回；否則，根據狀態轉移方程計算dp[i][j]，并存入表格。

  #include <iostream> #include <vector>  using namespace std;  int solve(int i, int j, vector<vector<int>>& dp) {     if (i == 0 || j == 0) {         return 0; // 邊界條件     }      if (dp[i][j] != -1) {         return dp[i][j]; // 已經計算過，直接返回     }      // 狀態轉移方程 (這里只是一個例子，具體問題具體分析)     dp[i][j] = solve(i - 1, j, dp) + solve(i, j - 1, dp) + 1;     return dp[i][j]; }  int main() {     int n = 5, m = 6;     vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, -1)); // 初始化為-1，表示未計算     cout << solve(n, m, dp) << endl;     return 0; }

• 遞推：從最小的子問題開始，逐步計算更大的子問題，直到得到原始問題的解。 關鍵是確定計算順序，保證在計算dp[i][j]時，它所依賴的子問題（比如dp[i-1][j]和dp[i][j-1]）已經被計算過了。

  #include <iostream> #include <vector>  using namespace std;  int main() {     int n = 5, m = 6;     vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); // 初始化為0      // 遞推計算     for (int i = 1; i <= n; ++i) {         for (int j = 1; j <= m; ++j) {             // 狀態轉移方程 (這里只是一個例子，具體問題具體分析)             dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + 1;         }     }      cout << dp[n][m] << endl;     return 0; }

動態規劃的難點在于：

1. 確定狀態：狀態就是子問題，需要仔細分析問題，找到能夠表示子問題的變量。
2. 狀態轉移方程：狀態轉移方程描述了子問題之間的關系，是動態規劃的核心。
3. 邊界條件：邊界條件是最小的子問題，可以直接求解。
4. 計算順序：對于遞推，需要確定合適的計算順序，保證子問題在被使用之前已經計算出來。

如何選擇記憶化搜索還是遞推？

這其實沒有絕對的答案，取決于個人偏好和問題的特點。

• 記憶化搜索：代碼更簡潔，更容易理解，特別是對于狀態比較復雜的問題。 缺點是可能會有遞歸調用的開銷，在某些情況下可能會棧溢出（可以通過手動擴展棧空間來解決）。
• 遞推：效率更高，沒有遞歸調用的開銷。缺點是代碼可能更復雜，需要仔細考慮計算順序。

一般來說，如果問題比較復雜，狀態比較多，我會傾向于使用記憶化搜索。如果問題比較簡單，狀態比較少，我會傾向于使用遞推。

動態規劃和貪心算法有什么區別？

動態規劃和貪心算法都是用來解決優化問題的。但它們之間有很大的區別。

• 動態規劃：考慮所有可能的解，選擇最優的解。它通過將問題分解為子問題，并保存子問題的解，避免重復計算，從而提高效率。 動態規劃通常適用于具有最優子結構和重疊子問題的問題。
• 貪心算法：每一步都選擇當前看起來最好的解，希望最終得到全局最優解。貪心算法不保證得到最優解，但通常可以得到一個近似最優解。 貪心算法通常適用于具有貪心選擇性質的問題。

舉個例子，假設我們要找從A到B的最短路徑。

• 動態規劃：會考慮所有可能的路徑，并選擇最短的路徑。
• 貪心算法：每一步都選擇離B最近的節點，希望最終得到最短路徑。但如果中間某個節點選擇錯誤，可能會導致最終的路徑不是最短的。

動態規劃有哪些常見的應用場景？

動態規劃應用非常廣泛，比如：

• 背包問題：給定一組物品，每個物品有重量和價值，在不超過背包容量的前提下，選擇哪些物品可以使得總價值最大。
• 最長公共子序列（LCS）：給定兩個字符串，找到它們的最長公共子序列。
• 最長遞增子序列（LIS）：給定一個序列，找到它的最長遞增子序列。
• 編輯距離：給定兩個字符串，計算將一個字符串轉換成另一個字符串所需要的最少操作次數（插入、刪除、替換）。
• 斐波那契數列：雖然可以直接遞歸或者循環計算，但用動態規劃可以避免重復計算。
• 路徑規劃：在圖或者網格中尋找最短路徑或者最優路徑。

總而言之，動態規劃是一種強大的算法，可以用來解決很多優化問題。理解動態規劃的思想，并掌握常見的動態規劃問題的解法，對于提高編程能力非常有幫助。